806. Докажите, что если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.
Решение. Пусть прямая a
не проходит ни через одну из вершин треугольника ABC
и пересекает его сторону AB
. Прямая a
разбивает плоскость на две полуплоскости. Точки A
и B
лежат в разных полуплоскостях, так как отрезок AB
пересекает прямую a
. Точка C
лежит в одной из этих полуплоскостей.
Если точка C
лежит в одной полуплоскости с точкой A
, то отрезок AC
не пересекает прямую a
, а отрезок BC
пересекает эту прямую (рис. 1).
Если точка C
лежит в одной полуплоскости с точкой B
, то отрезок AC
пересекает прямую a
, а отрезок BC
не пересекает (рис. 2).
В обоих случаях прямая a
пересекает только один из отрезков AC
или BC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для 7—11 кл. средней школы. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 1989. — с. 17