816. На прямой расположены последовательно точки A
, B
, C
и D
так, что BC=2AB
, CD=AC
. Одна окружность проходит через точки A
и C
, а другая — через точки B
и D
. Докажите, что общая хорда этих окружностей делит отрезок AC
пополам.
Решение. Пусть MN
— общая хорда окружностей, K
— точка пересечения MN
и AD
. Обозначим AB=a
, BK=x
. Тогда
BC=2a,~AC=CD=3a,~AK=a+x,~KC=2a-x,~KD=5a-x.
По теореме об отрезка пересекающихся хорд AK\cdot KC=MK\cdot KN
и BK\cdot KD=MK\cdot KN
, поэтому AK\cdot KC=BK\cdot KD
, или (a+x)(2a-x)=x(5a-x)
, откуда x=\frac{a}{2}
. Значит,
AK=a+x=a+\frac{a}{2}=\frac{3a}{2},~KC=2a-x=2a-\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}.
Следовательно, AK=KC
. Что и требовалось доказать.