823. Докажите, что окружность, проходящая через вершины B
и C
любого треугольника ABC
и центр его вписанной окружности, высекает на прямых AB
и AC
равные хорды.
Указание. Пусть D
— точка пересечения биссектрисы угла BAC
с описанной окружностью треугольника ABC
. Докажите, что AD
— биссектриса угла BAC
.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, D
— точка пересечения биссектрисы угла BAC
с описанной окружностью треугольника ABC
, BB_{1}
и CC_{1}
— хорды, о которых говорится в условии задачи. Тогда DB=DI=DC
(см. задачу 788), поэтому D
— центр окружности, проходящей через точки B
, C
и I
. Биссектриса угла BAC
есть ось симметрии этого угла, а прямая, проходящая через центр D
окружности есть ось симметрии окружности, следовательно, BB_{1}=CC_{1}
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 2.91б, с. 41
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 2.96б, с. 40