823. Докажите, что окружность, проходящая через вершины B
и C
любого треугольника ABC
и центр его вписанной окружности, высекает на прямых AB
и AC
равные хорды.
Указание. Пусть D
— точка пересечения биссектрисы угла BAC
с описанной окружностью треугольника ABC
. Докажите, что AD
— биссектриса угла BAC
.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, D
— точка пересечения биссектрисы угла BAC
с описанной окружностью треугольника ABC
, BB_{1}
и CC_{1}
— хорды, о которых говорится в условии задачи. Тогда DB=DI=DC
(см. задачу 788), поэтому D
— центр окружности, проходящей через точки B
, C
и I
. Биссектриса угла BAC
есть ось симметрии этого угла, а прямая, проходящая через центр D
окружности есть ось симметрии окружности, следовательно, BB_{1}=CC_{1}
.