824. Докажите, что площадь параллелограмма, лежащего внутри треугольника, не превосходит половины площади треугольника.
Решение. Пусть сначала параллелограмм BDEF
расположен так, что его вершины D
, E
и F
лежат на сторонах соответственно AB
, AC
и BC
треугольника ABC
. Пусть
S_{\triangle ABC}=S,~S_{\triangle ADE}=S_{1},~S_{\triangle EFC}=S_{2},~\frac{AE}{AC}=x.
Треугольник ADE
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом x
, поэтому S_{1}=x^{2}S
. Треугольник EFC
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом 1-x
, поэтому S_{2}=(1-x)^{2}S
. Следовательно,
S_{BDEF}=S-S_{1}-S_{2}=S-x^{2}S-(1-x)^{2}S=2x(1-x)S\leqslant2S\cdot\left(\frac{x+(1-x)}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}S.
В общем случае существует треугольник внутри данного, для которого параллелограмм расположен так же, как в рассмотренном случае.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 9.52, с. 232
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 9.55, с. 226