830. Найдите радиус наибольшей окружности, касающейся изнутри двух пересекающихся окружностей с радиусами R
и r
, если расстояние между их центрами равно a
(a\lt R+r
).
Ответ. \frac{R+r-a}{2}
.
Указание. Воспользуйтесь неравенством треугольника.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей с радиусами R
и r
соответственно, A
и B
— наименее удалённые друг от друга их точки пересечения с прямой O_{1}O_{2}
. Тогда AB=R+r-a
.
Докажем, что окружность, построенная на отрезке AB
как на диаметре, удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим любую другую окружность, касающуюся изнутри двух данных. Пусть O
— её центр, x
— радиус, M
и N
— точки касания с первой и второй окружностью соответственно. Тогда
O_{1}O=O_{1}M-OM=R-x,~O_{2}O=O_{2}N-ON=r-x,
O_{1}O+O_{2}O\gt O_{1}O_{2},~R-x+r-x\gt a.
Следовательно, 2x\lt R+r-a=AB
.