832. На сторонах AB
, BC
, CD
, DA
прямоугольника ABCD
взяты соответственно точки K
, L
, M
, N
, отличные от вершин. Известно, что KL\parallel MN
и KM\perp NL
. Докажите, что точка пересечения отрезков KM
и LN
лежит на диагонали BD
прямоугольника.
Указание. Пусть O
— точка пересечения отрезков KM
и LN
. Тогда четырёхугольники NDMO
и KBLO
— вписанные.
Решение. Обозначим точку пересечения отрезков KM
и LN
через O
и соединим её с B
и D
. Около четырёхугольников NDMO
и KBLO
можно описать окружности. Поэтому
\angle NOD=\angle NMD=\angle LKB=\angle LOB.
Следовательно, точки D
, O
и B
лежат на одной прямой.
Примечание. Утверждение задачи справедливо для любого параллелограмма ABCD
и без условия KM\perp NL
.