835. Хорды AB
и CD
пересекаются в точке E
внутри окружности. Пусть M
— внутренняя точка отрезка BE
. Касательная в точке E
к окружности, проходящей через точки D
, E
и M
, пересекает прямые BC
и AC
в точках F
и G
соответственно. Пусть \frac{AM}{AB}=t
. Найдите \frac{EG}{EF}
как функцию от t
.
Ответ. \frac{t}{1-t}
.
Указание. Треугольник CEF
подобен треугольнику AMD
, а треугольник CGE
подобен треугольнику BDM
.
Решение. Пусть точка E
лежит между точками G
и F
. Соединим точку D
с точками A
, M
и B
. Поскольку
\angle CEF=\angle DEG=\angle EMD,~\angle ECF=\angle MAD,
то треугольники CEF
и AMD
подобны. Поэтому \frac{EF}{DM}=\frac{CE}{AM}
. С другой стороны, так как
\angle ECG=\angle MBD,~\angle CGE=\angle CEF-\angle GCE=\angle EMD-\angle MBD=\angle BDM,
то треугольники CGE
и BDM
также подобны. Следовательно, \frac{EG}{DM}=\frac{CE}{MB}
. Разделив почленно доказанные равенства получим, что
\frac{EG}{EF}=\frac{AM}{MB}=\frac{t}{1-t}.
Источник: Журнал «Математика в школе». — № 6, 1991, с. 33
Источник: Всесоюзная олимпиада по математике. — 1991