839. Внутри выпуклого четырёхугольника расположены четыре окружности, каждая из которых касается двух соседних сторон четырёхугольника и двух окружностей (внешним образом). Известно, что в четырёхугольник можно вписать окружность. Докажите, что по крайней мере две из данных окружностей равны.
Указание. Отрезок общей внешней касательной к касающимся окружностям радиусов r
и R
, заключённый между точками касания, равен 2\sqrt{rR}
.
Решение. Пусть x
, y
, z
и t
— радиусы данных окружностей, вписанных в углы A
, B
, C
и D
четырёхугольника ABCD
. Расстояние между точками касания соседних окружностей со стороной AB
равно 2\sqrt{xy}
(см. задачу 365), со стороной BC
— 2\sqrt{yz}
, со стороной CD
— 2\sqrt{zt}
и со стороной AD
— 2\sqrt{xt}
.
Поскольку в данный четырёхугольник можно вписать окружность, то AB+CD=CB+AD
, или
\sqrt{xy}+\sqrt{zt}=\sqrt{yz}+\sqrt{tx}~\Rightarrow~\sqrt{y}(\sqrt{x}-\sqrt{z})-\sqrt{t}(\sqrt{x}-\sqrt{z})=0~\Rightarrow~
~\Rightarrow~(\sqrt{y}-\sqrt{t})(\sqrt{x}-\sqrt{z})=0.
Отсюда следует утверждение задачи.