840. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
заключены две равные окружности, касающиеся друг друга. Центр первой окружности находится на отрезке, соединяющем вершину D
с серединой E
стороны AB
, а центр второй окружности — на отрезке CE
. Первая окружность касается сторон AB
, AD
и CD
, а вторая окружность касается сторон AB
, BC
и CD
. Найдите синус угла между диагоналями четырёхугольника ABCD
.
Ответ. \frac{4}{5}
.
Указание. ABCD
— прямоугольник.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры первой и второй окружностей соответственно, P
и Q
— точки касания окружностей со стороной CD
, r
— радиус окружностей. Поскольку прямые AB
и CD
— общие внешние касательные к двум равным окружностям, то AB\parallel CD
.
Поскольку DE
и CE
— биссектрисы углов D
и C
, то треугольники DAE
и CBE
— равнобедренные. Поэтому AD=AE=BE=BC
, т. е. ABCD
— равнобедренная трапеция или прямоугольник. В любом случае DP=CQ
.
Поскольку PQ=O_{1}O_{2}=2r
и CD=2O_{1}O_{2}=4r
(O_{1}O_{2}
— средняя линия треугольника DEC
), то DP=CQ=r
. Поэтому DPO_{1}
и CQO_{2}
— равнобедренные прямоугольные треугольники. Следовательно,
\angle PDE=\angle ADE=\angle QCE=\angle BCE=45^{\circ},
\angle D=\angle C=\angle B=\angle A=90^{\circ}.
Поэтому ABCD
— прямоугольник. Тогда \tg\angle CAB=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}
и, если \varphi
— угол между диагоналями прямоугольника ABCD
, то
\varphi=2\angle CAB,~\sin\varphi=\frac{4}{5}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1970, № 4, вариант 1