842. Точка E
стороны BC
и точка F
стороны AD
выпуклого четырёхугольника ABCD
расположены так, что BE=2EC
, AF=2FD
. На отрезке AE
находится центр окружности радиуса r
, касающейся сторон AB
, BC
и CD
. На отрезке BF
находится центр окружности такого же радиуса r
, касающейся сторон AB
, AD
и CD
. Найдите площадь четырёхугольника ABCD
, зная, что указанные окружности внешним образом касаются друг друга.
Ответ. 8r^{2}
.
Указание. ABCD
— параллелограмм.
Решение. Заметим, что AB\parallel CD
(общие внешние касательные к двум равным окружностям). Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры первой и второй окружностей соответственно. Обозначим AB=2x
.
Продолжим AE
и BF
до пересечения с прямой CD
в точках P
и Q
соответственно. Из подобия треугольников PCE
и ABE
находим, что PC=\frac{1}{2}AB=x
. Аналогично DQ=x
.
Пусть биссектриса угла BCD
пересекает сторону AB
в точке M
. Тогда треугольник MO_{1}A
равен треугольнику CO_{1}P
. Поэтому AM=CP=x
и M
— середина AB
. Следовательно, BM=x
.
Если N
— точка пересечения биссектрисы угла ADC
со стороной AB
, то аналогично докажем, что N
— середина AB
. Следовательно, точки M
и N
совпадают.
Поскольку O_{1}O_{2}
— средняя линия треугольника DMC
, то
CD=2O_{1}O_{2}=4r.
Кроме того, треугольники MBC
и MAD
равнобедренные. Поскольку BC=BM=AM=AD=x
и AB\parallel CD
, то ABCD
— либо равнобедренная трапеция, либо параллелограмм. В первом из этих случаев AM=x=AD\gt2r
. Поэтому основание AB=2x\gt4r
. Но тогда основание CD\lt4r
, что невозможно. Значит, ABCD
— параллелограмм со стороной CD=4r
и высотой 2r
Его площадь равна 8r^{2}
.