848. Окружность радиуса 1 касается окружности радиуса 3 в точке C
. Прямая, проходящая через точку C
, пересекает окружность меньшего радиуса в точке A
, а большего радиуса — в точке B
. Найдите AC
, если AB=2\sqrt{5}
.
Ответ. \frac{\sqrt{5}}{2}
.
Указание. Соедините центры окружностей с точкой касания и рассмотрите подобные треугольники.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры меньшей и большей окружностей соответственно. Поскольку \angle ACO_{1}=\angle BCO_{2}
и треугольники AO_{1}C
и BO_{2}C
равнобедренные, то эти треугольники подобны и коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, т. е. \frac{1}{3}
.
Если окружности касаются внутренним образом, то
AC=\frac{1}{3}AB=\sqrt{5},
что невозможно, так как хорда AC
меньшей окружности не может быть больше диаметра этой окружности, равного 2.
Если окружности касаются внешним образом, то
AC=\frac{1}{4}AB=\frac{\sqrt{5}}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1986, вариант 1, № 2
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Факториал, 1995. — с. 9
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 9.41, с. 70