848. Окружность радиуса 1 касается окружности радиуса 3 в точке C
. Прямая, проходящая через точку C
, пересекает окружность меньшего радиуса в точке A
, а большего радиуса — в точке B
. Найдите AC
, если AB=2\sqrt{5}
.
Ответ. \frac{\sqrt{5}}{2}
.
Указание. Соедините центры окружностей с точкой касания и рассмотрите подобные треугольники.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры меньшей и большей окружностей соответственно. Поскольку \angle ACO_{1}=\angle BCO_{2}
и треугольники AO_{1}C
и BO_{2}C
равнобедренные, то эти треугольники подобны и коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, т. е. \frac{1}{3}
.
Если окружности касаются внутренним образом, то
AC=\frac{1}{3}AB=\sqrt{5},
что невозможно, так как хорда AC
меньшей окружности не может быть больше диаметра этой окружности, равного 2.
Если окружности касаются внешним образом, то
AC=\frac{1}{4}AB=\frac{\sqrt{5}}{2}.
