850. Трапеция
ABCD
с основаниями
BC
и
AD
вписана в окружность. На дуге
CD
взята точка
E
и соединена со всеми вершинами трапеции. Известно, что
\angle CED=120^{\circ}
,
\angle ABE-\angle BAE=\alpha
. Найдите отношение периметра треугольника
ABE
к радиусу вписанной в него окружности.
Ответ.
2\left(\ctg\left(30^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)+\ctg\left(30^{\circ}+\frac{\alpha}{4}\right)+\sqrt{3}\right)
.
Указание.
\angle AEB=60^{\circ}
.
Решение. Поскольку
BC\parallel AD
, то
\cup AB=\cup CD=360^{\circ}-\cup CAD=360^{\circ}-2\angle CED=

=360^{\circ}-240^{\circ}=120^{\circ}.

Поэтому
\angle AEB=60^{\circ}
.
Обозначим
\angle ABE=\beta
. Тогда
\angle BAE=\beta-\alpha,~\beta-\alpha+\beta+60^{\circ}=180^{\circ}.

Отсюда находим, что
\angle ABE=\beta=60^{\circ}+\frac{\alpha}{2},~\angle BAE=\beta-\alpha=60^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.

Пусть
O
— центр окружности, вписанной в треугольник
ABE
,
r
— её радиус,
M
и
N
— точки касания этой окружности со сторонами
AB
и
AE
соответственно,
P
— периметр треугольника
ABE
. Тогда
P=2(BM+AM+EN)=

=2\left(r\ctg\left(30^{\circ}+\frac{\alpha}{4}\right)+r\ctg\left(30^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)+r\sqrt{3}\right)=

=2r\left(\ctg\left(30^{\circ}+\frac{\alpha}{4}\right)+\ctg\left(30^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)+\sqrt{3}\right).

Следовательно,
\frac{P}{r}=2\left(\ctg\left(30^{\circ}-\frac{\alpha}{4}\right)+\ctg\left(30^{\circ}+\frac{\alpha}{4}\right)+\sqrt{3}\right).

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1981, № 4, вариант 1
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 11