853. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность, причём хорда DE
, параллельная AB
, пересекает BC
. Известно, что \angle ACE=60^{\circ}
и 2\angle BDC+3\angle CBD=\alpha
. Найдите отношение радиуса вписанной в треугольник BCD
окружности к радиусу окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ. \frac{\sqrt{3}\sin\alpha\sin(\alpha+120^{\circ})}{\sin\alpha-\sin(\alpha+120^{\circ})-\sin60^{\circ}}=\cos(\alpha+60^{\circ})-\frac{1}{2}
.
Указание. Выразите через \alpha
углы BDC
и CBD
.
Решение. Обозначим \angle BDC=\beta
, \angle CBD=\gamma
.
Поскольку AB\parallel DE
, то \cup AD=\cup BE
и \angle ACD=\angle BCE
. Поэтому
\angle BCD=\angle ACE=60^{\circ}.
Из треугольника BCD
находим, что \beta+\gamma=120^{\circ}
, а по условию 2\beta+3\gamma=\alpha
. Из полученной системы находим, что
\gamma=\alpha-240^{\circ},~\beta=360^{\circ}-\alpha.
Пусть R
и r
— радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника BDC
, S
— его площадь, P
— периметр. Выразим S
двумя способами:
S=\frac{1}{2}BC\cdot CD\sin\angle BCD=\frac{1}{2}\cdot2R\sin\beta\cdot2R\sin\gamma\sin60^{\circ}=
=\sqrt{3}R^{2}\sin(360^{\circ}-\alpha)\sin(\alpha-240^{\circ})=\sqrt{3}R^{2}\sin\alpha\sin(\alpha+120^{\circ})
и
S=\frac{Pr}{2}=(R\sin\beta+R\sin\gamma+R\sin60^{\circ})r=
=Rr(-\sin\alpha+\sin(\alpha+120^{\circ})+\sin60^{\circ}).
Приравняв правые части полученных равенств, находим, что
\frac{r}{R}=\frac{\sqrt{3}\sin\alpha\sin(\alpha+120^{\circ})}{\sin\alpha-\sin(\alpha+120^{\circ})-\sin60^{\circ}}=\cos(\alpha+60^{\circ})-\frac{1}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1981, № 4, вариант 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1983. — с. 17