854. В равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AB
угол B
равен \arctg\frac{8}{15}
. Окружность радиуса 1, вписанная в угол C
, касается стороны CB
в точке M
и отсекает от основания отрезок KE
. Найдите площадь треугольника KMB
, если известно, что точки A
, K
, E
, B
следуют на основании AB
в указанном порядке.
Ответ. \frac{375}{272}
.
Указание. Докажите, что центр окружности принадлежит основанию треугольника.
Решение. Пусть O
— центр данной окружности. Из прямоугольного треугольника OMB
находим, что
\tg\angle MBO=\frac{OM}{MB}=\frac{8}{15}=\tg\angle CBA.
Поэтому \angle MBO=\angle CBA
.
Поскольку лучи BO
и BA
расположены по одну сторону от прямой BC
, то центр окружности лежит на стороне AB
. По теореме Пифагора
OB=\sqrt{OM^{2}+MB^{2}}=\frac{17}{8}.
Высоту h
треугольника OMB
найдём из равенства
OB\cdot h=OM\cdot MB~(h=\frac{15}{17}).
Следовательно,
S_{\triangle KMB}=\frac{1}{2}KB\cdot h=\frac{1}{2}(KO+OB)\cdot h=\frac{375}{272}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — 1978, вариант 1, № 3
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 18