874. Сумма углов треугольника. Докажите, что сумма внутренних углов треугольника равна 180^{\circ}
.
Решение. Пусть внутренние углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно.
Прямая BC
разбивает плоскость на две полуплоскости. Через вершину B
проведём прямую, параллельную прямой AC
. На этой прямой в полуплоскости, не содержащей точки A
, отметим точку D
. Тогда DBC
и ACB
— накрест лежащие углы, образованные пересечениями параллельных прямых BD
и AC
секущей BC
. По свойству параллельных прямых \angle DBC=\angle ACB=\gamma
.
Точки A
и D
лежат в разных полуплоскостях, поэтому луч BC
пересекает отрезок с концами A
и D
на сторонах BA
и BD
угла ABD
. Значит, луч BC
проходит между сторонами этого угла. Следовательно,
\angle ABD=\angle ABC+\angle DBC=\beta+\gamma,
а так как ABD
и BAC
— внутренние односторонние углы при параллельных прямых BD
и AC
и секущей AB
, то их сумма равна 180^{\circ}
. Следовательно,
\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}.
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — с. 53
Источник: Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для 7—11 кл. средней школы. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 1989. — с. 54