875. В равнобедренный треугольник ABC
(AB=BC)
вписана окружность радиуса 3. Прямая l
касается этой окружности и параллельна прямой AC
. Расстояние от точки B
до прямой l
равно 3. Найдите расстояние между точками, в которых данная окружность касается сторон AB
и BC
.
Ответ. 3\sqrt{3}
.
Указание. Рассмотрите прямоугольный треугольник OBQ
, где O
— центр окружности, P
— точка касания окружности со стороной BC
.
Решение. Пусть P
и Q
— точки касания окружности со сторонами AB
и BC
треугольника ABC
, O
— центр окружности, F
— точка касания окружности с прямой l
, M
и N
— точки пересечения прямой l
со сторонами AB
и BC
. Тогда треугольник MBN
подобен треугольнику ABC
. Поэтому он равнобедренный. Следовательно,
MF=MP=BP-BM=BQ-BN=NQ=NF.
Поэтому F
— середина MN
. Тогда луч BF
— биссектриса угла B
. Значит, точка F
лежит на отрезке BO
и
BO=BF+OF=3+3=6.
Из прямоугольного треугольника BQO
находим, что \angle OBQ=30^{\circ}
. Поэтому
\angle OQP=30^{\circ},~\frac{1}{2}PQ=OQ\cos\angle OQP=3\cos30^{\circ}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Следовательно, PQ=3\sqrt{3}
.
