878. Сторона ромба ABCD
равна 5. В этот ромб вписана окружность радиуса 2,4. Найдите расстояние между точками, в которых эта окружность касается сторон AB
и BC
, если диагональ AC
меньше диагонали BD
.
Ответ. 3,84.
Указание. Найдите синус угла при вершине B
из прямоугольного треугольника AMB
(M
— проекция точки A
на сторону BC
).
Решение. Первый способ. Пусть O
— центр окружности, P
и Q
— её точки касания со сторонами BC
и AB
данного ромба, F
— точка пересечения отрезков BO
и PQ
, M
— проекция точки A
на сторону BC
. Тогда PQ\parallel AC
и F
— середина PQ
.
Обозначим \angle ABC=\alpha\lt90^{\circ}
. Тогда из прямоугольного треугольника AMB
находим, что
\sin\alpha=\sin\angle ABC=\frac{AM}{AB}=\frac{4{,}8}{5}=\frac{24}{25}.
Поскольку
\angle FPO=\angle OBC=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{\alpha}{2},
то
FP=OP\cos\angle FPO=2{,}4\cos\frac{\alpha}{2}=2{,}4\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=
=2{,}4\sqrt{\frac{1+\frac{7}{25}}{2}}=2{,}4\cdot0{,}8=1{,}92.
Следовательно, PQ=2FP=3{,}84
.
Второй способ. Поскольку PO
— средняя линия треугольника AMC
, то MP=PC
. Поскольку BM^{2}=AB^{2}-AM^{2}=\left(\frac{7}{5}\right)^{2}
, то
PC=\frac{1}{2}MC=\frac{BC-BM}{2}=\frac{9}{2},
BP=\frac{16}{5},~OC^{2}=BC\cdot CP=9.
Из подобия треугольников BFP
и BOC
следует, что \frac{FP}{OC}=\frac{BP}{BC}
. Поэтому
FP=\frac{BP\cdot OC}{BC}=\frac{48}{5}.
Следовательно,
PQ=2FP=\frac{96}{25}=3{,}84.