892. В окружность вписана трапеция ABCD
, причём её основания AB=1
и DC=2
. Обозначим точку пересечения диагоналей этой трапеции через F
. Найдите отношение суммы площадей треугольников ABF
и CDF
к сумме площадей треугольников AFD
и BCF
.
Ответ. \frac{5}{4}
.
Указание. Пусть S
— площадь треугольника ABF
. Выразите через S
площади треугольников CDF
, AFD
и BFC
.
Решение. Обозначим через S
площадь треугольника ABF
. Из подобия треугольников ABF
и CDF
следует, что S_{\triangle CDF}=4S
. Поскольку
\frac{DF}{FB}=\frac{CF}{AF}=\frac{CD}{AB}=2,
то
S_{\triangle AFD}=2S,~S_{\triangle BFC}=2S.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle ABF}+S_{\triangle CDF}}{S_{\triangle AFD}+S_{\triangle BFC}}=\frac{S+4S}{2S+2S}=\frac{5}{4}.
Примечание. Утверждение верно для любой трапеции, одно основание которой вдвое больше другого.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1973, № 2, вариант 5