894. Из точки K
, расположенной вне окружности с центром в точке O
, проведены к этой окружности две касательные MK
и NK
(M
и N
— точки касания). На хорде MN
взята точка C
(MC\lt CN
). Через точку C
перпендикулярно к отрезку OC
проведена прямая, пересекающая отрезок NK
в точке B
. Известно, что радиус окружности равен R
, \angle MKN=\alpha
, MC=b
. Найдите CB
.
Ответ. \ctg\frac{\alpha}{2}\sqrt{R^{2}+b^{2}-2Rb\cos\frac{\alpha}{2}}
.
Указание. Докажите, что \angle CBO=\frac{\alpha}{2}
.
Решение. Пусть D
— точка пересечения отрезка KO
с хордой MN
. Тогда D
— середина MN
, а так как \angle DNO=\angle OKN=\frac{\alpha}{2}
, то
DN=ON\cos\angle DNO=R\cos\frac{\alpha}{2},~MN=2DN=2R\cos\frac{\alpha}{2},
CN=MN-MC=2R\cos\frac{\alpha}{2}-b.
Из треугольника CON
по теореме косинусов находим, что
CO=\sqrt{NC^{2}+NO^{2}-2NC\cdot NO\cos\frac{\alpha}{2}}=
=\sqrt{\left(2R\cos\frac{\alpha}{2}-b\right)^{2}+R^{2}-2R\left(2R\cos\frac{\alpha}{2}-b\right)\cos\frac{\alpha}{2}}=
=\sqrt{R^{2}+b^{2}-2Rb\cos\frac{\alpha}{2}}.
Поскольку точки O
, C
, B
и N
лежат на окружности с диаметром OB
, то \angle CBO=\angle CNO=\frac{\alpha}{2}
. Поэтому
CB=CO\ctg\angle CBO=\ctg\frac{\alpha}{2}\sqrt{R^{2}+b^{2}-2Rb\cos\frac{\alpha}{2}}.