901. Дана равнобедренная трапеция ABCD
. Известно, что AD=10
, BC=2
, AB=CD=5
. Биссектриса угла BAD
пересекает продолжение основания BC
в точке K
. Найдите биссектрису угла ABK
в треугольнике ABK
.
Ответ. \frac{\sqrt{10}}{2}
.
Указание. Треугольник ABK
— равнобедренный.
Решение. Пусть \angle BAD=\alpha
. Поскольку
\angle BKA=\angle KAD=\angle BAK,
то треугольник ABK
— равнобедренный, BK=AB=5
. Его биссектриса BF
является высотой. Следовательно,
BF=AB\sin\angle BAF=5\sin\frac{\alpha}{2}.
Пусть P
— проекция точки B
на AD
. Тогда
AP=\frac{AD-BC}{2}=4,~\cos\alpha=\cos\angle BAD=\frac{AP}{AB}=\frac{4}{5}.
Поэтому
\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.
Следовательно,
BF=5\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{2}.
