902. Дан треугольник ABC
. Известно, что AB=4
, AC=2
и BC=3
. Биссектриса угла BAC
пересекает сторону BC
в точке K
. Прямая, проходящая через точку B
параллельно AC
, пересекает продолжение биссектрисы AK
в точке M
. Найдите KM
.
Ответ. 2\sqrt{6}
.
Указание. Треугольник ABM
— равнобедренный.
Решение. По теореме косинусов из треугольника ABC
находим, что
\cos\angle C=\frac{AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2AC\cdot BC}=\frac{4+9-16}{2\cdot2\cdot3}=-\frac{1}{4}.
По свойству биссектрисы треугольника
\frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{2}=2.
Поэтому BK=2
.
Поскольку
\angle AMB=\angle CAM=\angle MAB,
то треугольник ABM
— равнобедренный, BM=AB=4
. Кроме того,
\angle KBM=\angle KCA=\angle C.
Следовательно,
KM^{2}=BK^{2}+BM^{2}-2BK\cdot BM\cos\angle KBM=4+16-2\cdot2\cdot4\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=24.
