907. Дан треугольник ABC
. На стороне BC
взята точка P
, а на стороне AC
взята точка M
, причём \angle APB=\angle BMA=\frac{\pi}{4}
. Отрезки AP
и BM
пересекаются в точке O
. Известно, что площади треугольников BOP
и AOM
равны между собой, BC=1
, BO=\frac{\sqrt{2}}{2}
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 0,3.
Указание. Докажите, что треугольник ABC
— равнобедренный.
Решение. Треугольники BOP
и AOM
подобны по двум углам. Если k
— их коэффициент подобия, то S_{\triangle BOP}=k^{2}S_{\triangle AOM}
. Поэтому k=1
. Следовательно, треугольники BOP
и AOM
равны. Тогда
\angle MAO=\angle PBO,~AO=OB,~\angle OAB=\angle CBA,~\angle CAB=\angle CBA.
Поэтому треугольник ABC
— равнобедренный (AC=CB
). Следовательно, MP\parallel AB
.
Обозначим PO=MO=x
. Тогда
\frac{MC}{AC}=\frac{MP}{AB}=\frac{MO}{OB}=\frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=x\sqrt{2}.
Поэтому
MC=AC\cdot x\sqrt{2}=x\sqrt{2}.
По теореме косинусов
BC^{2}=MC^{2}+MB^{2}-2MC\cdot MB\cos135^{\circ},
или
1=2x^{2}+\left(x+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+x\sqrt{2}\left(x+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\sqrt{2},
или
10x^{2}+4x\sqrt{2}-1=0.
Откуда находим, что x=\frac{\sqrt{2}}{10}
. Тогда
MB=BO+OM=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{10}=\frac{3\sqrt{2}}{5},~MC=x\sqrt{2}=\frac{1}{5}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{5}{4}S_{\triangle AMB}=\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{2}MB\cdot MA\sin45^{\circ}=
=\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{5}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{10}.