929. В треугольнике ABC
биссектриса AK
перпендикулярна медиане BM
, а угол ABC
равен 120^{\circ}
. Найдите отношение площади треугольника ABC
к площади описанного около этого треугольника круга.
Ответ. \frac{3\sqrt{3}(\sqrt{13}-1)}{32\pi}
.
Указание. Докажите, что треугольник ABM
равнобедренный и примените теорему косинусов.
Решение. Обозначим AM=MC=a
, BK=x
. Если R
— радиус круга, описанного около треугольника ABC
, то
R=\frac{AC}{2\sin\angle ABC}=\frac{2a}{2\sin60^{\circ}}=2a\sqrt{3}.
Биссектриса треугольника ABM
, проведённая из вершины A
, является его высотой. Поэтому треугольник ABM
— равнобедренный, AB=AM=a
.
По свойству биссектрисы треугольника \frac{CK}{BK}=\frac{AC}{AB}=2
. Поэтому KC=2BK=2x
и BC=3x
.
По теореме косинусов из треугольника ABC
находим, что
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos\angle120^{\circ},
или
4a^{2}=a^{2}+9x^{2}+3ax.
Из этого уравнения находим, что x=\frac{a(\sqrt{13}-1)}{6}
. Тогда
BC=3x=\frac{a(\sqrt{13}-1)}{2}.
Поэтому
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin120^{\circ}=\frac{a^{2}\sqrt{3}(\sqrt{13}-1)}{8}.
Следовательно, искомое отношение равно
\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{13}-1)}{32\pi}.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 1975, вариант 1, № 4
Источник: Александров Б. И., Лурье М. В. Пособие по математике для поступающих в МГУ. — М.: Изд-во МГУ, 1977. — с. 64
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 131, с. 16
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 6, с. 139