932. В треугольнике ABC
биссектриса AH
пересекает высоты BP
и CT
в точках K
и M
соответственно, причём эти точки лежат внутри треугольника. Известно, что BK:KP=2
и MT:KP=3:2
. Найдите отношение площади треугольника PBC
к площади описанного около этого треугольника круга.
Ответ. \frac{4\sqrt{3}}{7\pi}
.
Указание. Докажите, что \angle ABP=30^{\circ}
.
Решение. Обозначим KP=2x
. Тогда BK=4x
, MT=3x
. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{AP}{AB}=\frac{KP}{BK}=\frac{1}{2}.
Поэтому \angle ABP=30^{\circ}
и AP=2x\sqrt{3}
.
Из треугольника ATM
находим, что
AT=TM\ctg30^{\circ}=3x\sqrt{3}.
Из треугольника ATC
находим, что
AC=2AT=6x\sqrt{3}.
Поэтому
PC=AC-AP=6x\sqrt{3}-2x\sqrt{3}=4x\sqrt{3}.
Следовательно,
S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}PC\cdot BP=\frac{4x\sqrt{3}\cdot6x}{2}=12x^{2}\sqrt{3}.
По теореме Пифагора из треугольника PBC
находим, что
BC=\sqrt{(4x\sqrt{3})^{2}+(6x)^{2}}=2x\sqrt{21}.
Поскольку радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника PBC
равен половине гипотенузы BC
, то искомое отношение равно
\frac{12x^{2}\sqrt{3}}{21\pi x^{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{7\pi}.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 1975, вариант 4, № 4
Источник: Александров Б. И., Лурье М. В. Пособие по математике для поступающих в МГУ. — М.: Изд-во МГУ, 1977. — с. 66