946. Точки K
, L
, M
делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD
в отношении AK:BK=CL:BL=CM:DM=1:2
. Радиус описанной окружности треугольника KLM
равен \frac{5}{2}
, KL=4
, LM=3
. Какова площадь четырёхугольника ABCD
, если известно, что KM\lt KL
?
Ответ. \frac{189}{25}
.
Указание. Найдите \sin\angle KLM
.
Решение. Обозначим \angle KML=\alpha
, \angle MKL=\beta
, R
— радиус окружности, описанной около треугольника KLM
. Тогда
\sin\alpha=\frac{KL}{2R}=\frac{4}{5},~\sin\beta=\frac{LM}{2R}=\frac{3}{5},~|\cos\alpha|=\frac{3}{5},~|\cos\beta|=\frac{4}{5}.
Пусть \alpha
— острый угол. Тогда и \beta
— острый (LM\lt KL)
. Поэтому
\cos\alpha=\frac{3}{5},~\cos\beta=\frac{4}{5},~\sin\angle KLM=\sin(180^{\circ}-\alpha-\beta)=
=\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=1,
что невозможно, так как в этом случае KM
— гипотенуза прямоугольного треугольника KLM
, а по условию KM\lt KL
. Следовательно, \alpha
— тупой угол. Тогда
\cos\alpha=-\frac{3}{5},~\cos\beta=\frac{4}{5},
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\frac{7}{25}.
Треугольник ABC
подобен треугольнику KBL
с коэффициентом \frac{3}{2}
. Поэтому AC=\frac{3}{2}KL=6
. Треугольник BCD
подобен треугольнику LCM
с коэффициентом 3. Поэтому BD=3LM=9
. Синус угла между диагоналями AC
и BD
равен синусу угла KLM
, т. е. \sin(\alpha+\beta)=\frac{7}{25}
. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}\cdot6\cdot9\cdot\frac{7}{25}=\frac{189}{25}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет психологии МГУ. — 1991, № 4, вариант 2
Источник: Журнал «Квант». — 1992, № 2, с. 60