955. В равнобедренном треугольнике ABC
(AB=BC
) сторона AC=10
. В угол ABC
вписана окружность с диаметром 15 так, что она касается стороны AC
в её середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Ответ. \frac{10}{3}
.
Указание. Докажите, что данная окружность не может быть вписанной в треугольник ABC
. Искомый радиус найдите из прямоугольного треугольника OAQ
, где O
и Q
— центры данной окружности и окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Решение. Данная окружность не может быть вписанной в треугольник ABC
, так как в этом случае её диаметр был бы меньше стороны AC
.
Действительно, проведём через центр вписанной в треугольник ABC
окружности прямую, параллельную AC
. Отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, больше диаметра окружности, но меньше стороны AC
.
Следовательно, данная окружность касается стороны AC
в её середине M
и продолжений сторон BA
и BC
треугольника ABC
.
Пусть O
— центр этой окружности, а Q
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
. Из прямоугольного треугольника OAQ
находим, что AM^{2}=MQ\cdot MO
. Следовательно,
QM=\frac{AM^{2}}{OM}=\frac{10}{3}.