960. Диаметр AB
окружности продолжили за точку B
и на продолжении отметили точку C
. Из точки C
провели секущую под углом к AC
в 7^{\circ}
, пересекающую окружность в точках D
и E
, считая от точки C
. Известно, что DC=3
, а угол DAC
равен 30^{\circ}
. Найдите диаметр окружности.
Ответ. 4\sqrt{3}\sin7^{\circ}
.
Указание. Примените теорему синусов к треугольнику DOC
(O
— центр окружности).
Решение. Пусть O
— центр окружности. Тогда \angle DOB=60^{\circ}
. По теореме синусов из треугольника DOC
находим, что
\frac{DC}{\sin\angle DOC}=\frac{OD}{\sin\angle OCD},~\mbox{или}~\frac{3}{\sin60^{\circ}}=\frac{OD}{\sin7^{\circ}}.
Следовательно,
OD=2\sqrt{3}\sin7^{\circ},~AB=2OD=4\sqrt{3}\sin7^{\circ}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет почвоведения МГУ. — 1988, вариант 1, № 2
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Факториал, 1995. — с. 91