962. Точка O
лежит на отрезке AB
, причём AO=13
, OB=7
. С центром в точке O
проведена окружность радиуса 5. Из A
и B
к ней проведены касательные, пересекающиеся в точке M
, причём точки касания лежат по одну сторону от прямой AB
. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника AMB
.
Ответ. \frac{91(6-\sqrt{6})}{30}
.
Указание. Примените формулу a=2R\sin\alpha
.
Решение. Пусть C
и D
— точки касания данной окружности со сторонами соответственно AM
и BM
треугольника AMB
. Обозначим \angle MAB=\alpha
, \angle MBA=\beta
.
Из прямоугольных треугольников ACO
и DBO
находим, что
\sin\alpha=\frac{CO}{AO}=\frac{5}{13},~\cos\alpha=\frac{12}{13},
\sin\beta=\frac{OD}{OB}=\frac{5}{7},~\cos\beta=\frac{2\sqrt{6}}{7}.
Тогда
\sin\angle AMB=\sin(180^{\circ}-\alpha-\beta)=\sin(\alpha+\beta)=
=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha=\frac{10(6+\sqrt{6})}{91}.
Следовательно, искомый радиус равен
\frac{AB}{2\sin\angle AMB}=\frac{20}{2\cdot10\cdot\frac{6+\sqrt{6}}{91}}=\frac{91(6-\sqrt{6})}{30}.
Источник: Вступительный экзамен на геологический факультет МГУ. — 1988 (отделение геофизики), вариант 1, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Факториал, 1995. — с. 121