965. В параллелограмме KLMN
сторона KL
равна 8. Окружность, касающаяся сторон NK
и NM
, проходит через точку L
и пересекает стороны KL
и ML
в точках C
и D
соответственно. Известно, что KC:LC=4:5
и LD:MD=8:1
. Найдите сторону KN
.
Ответ. 10.
Указание. Примените теорему о касательной и секущей.
Решение. Пусть P
и Q
— точки касания данной окружности со сторонами KN
и MN
параллелограмма KLMN
. По теореме о касательной и секущей
KP^{2}=KL\cdot KC=8\cdot\frac{4}{9}\cdot8=\frac{256}{9}.
Поэтому KP=\frac{16}{3}
.
Обозначим KN=ML=x
. Тогда
QN=NP=KN-KP=x-\frac{16}{3},~DM=\frac{1}{9}ML=\frac{x}{9}.
По теореме о касательной и секущей
MQ^{2}=MD\cdot ML,~\mbox{или}~\left(8-x+\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{9},~\mbox{или}~\frac{40}{3}-x=\frac{x}{3}.
Отсюда находим, что x=10
.