970. В треугольнике ABC
известно, что \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
, BC=a
, AD
— высота. На стороне AB
взята точка P
, причём \frac{AP}{PB}=\frac{1}{2}
. Через точку P
проведена окружность, касающаяся стороны BC
в точке D
. Найдите радиус этой окружности.
Ответ. \frac{a\sin(\alpha+\beta)(3\sin^{2}\beta+1)}{12\sin\alpha\sin\beta}
.
Указание. Пусть O
— центр данной окружности. Примените теорему косинусов к треугольнику AOP
.
Решение. Заметим, что центр O
данной окружности лежит на высоте AD
. Обозначим AD=h
, радиус окружности — r
. Предположим, что точка O
лежит между точками A
и D
. Тогда
AB=\frac{AD}{\sin\angle ABD}=\frac{h}{\sin\beta},~AP=\frac{h}{3\sin\beta},
AO=AD-OD=h-r,~OP=r.
По теореме косинусов из треугольника OAP
находим, что
OP^{2}=AP^{2}+AO^{2}-2AP\cdot AO\cos(90^{\circ}-\angle ABD),
или
r^{2}=\left(\frac{h}{3\sin\beta}\right)^{2}+(h-r)^{2}-2h\cdot\frac{h-r}{3}.
Отсюда находим, что
r=\frac{h(3\sin^{2}\beta+1)}{12\sin^{2}\beta}.
Из треугольника ABC
по теореме синусов находим, что
AB=\frac{a\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha}.
Тогда
h=AB\sin\beta=\frac{a\sin\beta\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha}.
Следовательно,
r=\frac{a\sin(\alpha+\beta)(3\sin^{2}\beta+1)}{12\sin\alpha\sin\beta}.
Если точка A
расположена между точками O
и D
, то решение аналогично (в этом случае AO=r-h
, а \cos\angle OAP=-\sin\beta
).