972. Окружность с центром в точке O
, лежит на гипотенузе AC
прямоугольного треугольника ABC
, касается его катетов AB
и BC
. Найдите AC
, если известно, что AM=\frac{20}{9}
, AN:MN=6:1
, где M
— точка касания AB
с окружностью, а N
— точка пересечения окружности с AC
, расположенная между точками A
и O
.
Ответ. \sqrt{5}+\frac{1}{4}
.
Указание. Обозначьте \angle AOM=\angle ACB=\alpha
. Выразите через \alpha
углы треугольника AMN
и воспользуйтесь теоремой синусов.
Решение. Обозначим \angle AOM=\angle ACB=\alpha
. Тогда
\angle MAC=90^{\circ}-\alpha,~\angle AMN=\frac{\alpha}{2}
(угол между касательной AM
и хордой MN
). По теореме синусов из треугольника AMN
находим, что \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\alpha}=6
. Из этого уравнения следует, что
\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{2}{3},~\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{5}}{3},~\sin\alpha=\frac{4\sqrt{5}}{9}.
Из треугольника AMO
находим, что
MO=\frac{AM}{\tg\alpha}=\frac{\sqrt{5}}{9}.
Следовательно,
AC=\frac{AB}{\sin\alpha}=\frac{AM+MB}{\sin\alpha}=\frac{AM+MO}{\sin\alpha}=\frac{9\left(\frac{20}{9}+\frac{\sqrt{5}}{9}\right)}{4\sqrt{5}}=\sqrt{5}+\frac{1}{4}.