974. Окружность, проведённая через вершины B
и C
треугольника ABC
, пересекает сторону AB
в точке D
, а сторону AC
— в точке E
. Площадь круга, ограниченного этой окружностью, в 12 раз меньше площади круга, описанного около треугольника ADE
. Отношение площади треугольника ADE
к площади четырёхугольника BDEC
равно \frac{25}{11}
. Угол DBE
равен 60^{\circ}
. Найдите угол ADC
.
Ответ. Задача не имеет решений.
Указание. Найдите коэффициент подобия треугольников ADE
и ACB
и примените теорему синусов к треугольнику ADC
.
Решение. Треугольник ADE
подобен треугольнику ACB
по двум углам (\angle ADE=180^{\circ}-\angle BDE=\angle BCA)
.
Поскольку \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{BDEC}}=\frac{25}{11}
, то \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ACB}}=\frac{25}{36}
. Поэтому \frac{AD}{AC}=\frac{5}{6}
.
По теореме синусов из треугольника ADC
находим, что
\sin\angle ADC=\frac{6}{5}\sin\angle ACD=\frac{6}{5}\sin\angle DBE=
=\frac{6}{5}\sin60^{\circ}=\frac{6}{5}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{5}\gt1,
что невозможно.