976. Из точки A
, находящейся на расстоянии 5 от центра окружности радиуса 3, проведены две секущие AKC
и ALB
, угол между которыми равен 30^{\circ}
(K
, C
, L
, B
— точки пересечения секущих с окружностью). Найдите площадь треугольника AKL
, если площадь треугольника ABC
равна 10.
Ответ. \frac{8}{5}
.
Указание. Примените теорему о касательной и секущей.
Решение. Проведём из точки A
касательную к данной окружности. Пусть M
— точка касания, O
— центр окружности.
Из прямоугольного треугольника OMA
находим, что
AM^{2}=AO^{2}-OM^{2}=25-9=16.
Тогда
AK\cdot AC=AL\cdot AB=AM^{2}=16.
Поэтому
S_{\triangle AKL}=\frac{1}{2}AK\cdot AL\sin30^{\circ}=\frac{1}{4}AK\cdot AL=
=\frac{1}{4}\cdot\frac{16}{AC}\cdot\frac{16}{AB}=\frac{64}{AC\cdot AB}=\frac{16}{S_{\triangle ABC}}=\frac{16}{10}=\frac{8}{5}.
