977. В прямоугольном треугольнике ABC
из точки E
, расположенной в середине катета BC
, опущен перпендикуляр EL
на гипотенузу AB
. Найдите углы треугольника ABC
, если AE=\sqrt{10}\cdot EL
и BC\gt AC
.
Ответ. \arctg2
, \arcctg2
.
Решение. Первый способ. Обозначим \angle ABC=\beta
, EL=x
. Из прямоугольных треугольников ELA
, BLE
и ABC
находим:
AL=\sqrt{AE^{2}-EL^{2}}=\sqrt{10x^{2}-x^{2}}=3x,
BL=EL\ctg\beta=x\ctg\beta,~BE=\frac{EL}{\sin\beta}=\frac{x}{\sin\beta},
AB=BL+LA=x\ctg\beta+3x,~BC=2BE=\frac{2x}{\sin\beta}.
BC=AB\cos\beta,~\mbox{или}~\frac{2x}{\sin\beta}=(x\ctg\beta+3x)\cos\beta.
Решим это уравнение:
\frac{2}{\sin\beta}=(\ctg\beta+3)\cos\beta~\Leftrightarrow~2=(\ctg\beta+3)\sin\beta\cos\beta~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2=3\sin\beta\cos\beta+\cos^{2}\beta~\Leftrightarrow~2\sin^{2}\beta-3\sin\beta\cos\beta+\cos^{2}\beta=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2\tg^{2}\beta-3\tg\beta+1=0.
Значит, \tg\beta=1
или \tg\beta=\frac{1}{2}
. Поскольку BC\gt AC
, то условию задачи удовлетворяет только второй из этих корней. Следовательно,
\beta=\arctg\frac{1}{2}=\arcctg2.
Второй способ. Обозначим EL=x
, BE=CE=2y
. Из прямоугольных треугольников ELA
, BLE
и ABC
находим, что
AL=\sqrt{AE^{2}-EL^{2}}=\sqrt{10x^{2}-x^{2}}=3x,
BL=\sqrt{BE^{2}-LE^{2}}=\sqrt{y^{2}-x^{2}},
(3x+\sqrt{y^{2}-x^{2}})^{2}=(10x^{2}-y^{2})+4y^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~3x\sqrt{y^{2}-x^{2}}=x^{2}+y^{2}~\Leftrightarrow~y^{4}-7x^{2}y^{2}+10x^{4}=0,~(y^{2}-5x^{2})(y^{2}-2x^{2})=0.
По условию задачи BC\gt AC
, поэтому y\ne x\sqrt{2}
(иначе треугольник BLE
, а значит, и ABC
, — равнобедренный). Следовательно, y=x\sqrt{5}
. Тогда
BL=\sqrt{5x^{2}-x^{2}}=2x,~\ctg\angle ABC=\frac{BL}{LE}=2.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1992, билет 1, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 92-1-2, с. 318