980. В ромбе ABCD
из вершины D
на сторону BC
опущен перпендикуляр DK
. Найдите сторону ромба, если AC=2\sqrt{6}
, AK=\sqrt{14}
.
Ответ. 2\sqrt{2}
.
Указание. Обозначьте через x
сторону ромба, выразите через x
косинусы углов ACB
и BCD
и примените теорему косинусов к треугольнику AKC
.
Решение. Обозначим сторону ромба через x
. Пусть \angle ACB=\alpha
. Тогда
\angle BCD=2\alpha,~\cos\alpha=\frac{AC}{2BC}=\frac{\sqrt{6}}{x},
\cos2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=\frac{12-x^{2}}{x^{2}},~CK=CD\cos\alpha=\frac{12-x^{2}}{x}.
По теореме косинусов из треугольника AKC
находим, что
AK^{2}=CK^{2}+AC^{2}-2CK\cdot AC\cos\alpha,
или
14=\frac{(12-x^{2})^{2}}{x^{2}}+24-2\cdot\frac{12-x^{2}}{x}\cdot2\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{6}}{x},~~x^{4}+10x^{2}-144=0.
Из этого уравнения находим, что x^{2}=8
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1992, билет 4, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 92-4-2, с. 320