981. Трапеция ABCD
с основаниями BC=1
и AD=3
такова, что в неё можно вписать окружность и вокруг неё можно описать окружность. Определите, где находится центр описанной вокруг трапеции ABCD
окружности, т. е. расположен ли он внутри, или вне, или же на одной из сторон трапеции ABCD
. Найдите также площадь описанного круга.
Ответ. Внутри; \frac{7\pi}{3}
.
Решение. Поскольку около трапеции можно описать окружность, она равнобедренная, AB=CD
. Поскольку в неё можно вписать окружность, суммы её противоположных сторон равны, поэтому AB=CD=\frac{1+3}{2}=2
.
Пусть CH
— высота трапеции. Тогда DH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{3-1}{2}=1
, AH=3-1=2
. Обозначим \angle ADC=\alpha
. В прямоугольном треугольнике CHD
катет DH
равен половине гипотенузы CD
, значит, \angle ADC=\angle HDC=60^{\circ}
, а CH=\sqrt{3}
.
Из прямоугольного треугольника ACH
находим, что
AC=\sqrt{AH^{2}+CH^{2}}=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}.
По теореме косинусов
\cos\angle ACD=\frac{AC^{2}+CD^{2}-AD^{2}}{2AC\cdot CD}=\frac{7+4-9}{2\cdot\sqrt{7}\cdot2}\gt0,
значит, \angle ACD\lt90^{\circ}
. Этот угол — наибольший в треугольнике ACD
, так как он лежит против наибольшей стороны AD
. Поэтому треугольник ACD
остроугольный. Центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ACD
, лежит внутри треугольника, следовательно, центр той же окружности, описанной около трапеции ABCD
, лежит внутри трапеции.
Пусть радиус этой окружности равен R
. По теореме синусов
R=\frac{AC}{2\sin\angle ADC}=\frac{AC}{2\sin60^{\circ}}=\frac{\sqrt{7}}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{7}{3}}.
Следовательно, площадь круга равна \pi R^{2}=\frac{7\pi}{3}
.
