982. В круге радиуса r
проведена хорда, равная a
. Найдите площадь получившегося сегмента.
Ответ. r^{2}\arcsin\frac{a}{2r}-\frac{1}{4}a\sqrt{4r^{2}-a^{2}}
.
Указание. Искомая площадь равна разности площадей сектора и треугольника.
Решение. Пусть O
— центр окружности, AB
— данная хорда (AB=a)
. Обозначим радианную меру угла AOB
через 2\alpha
. Тогда площадь сектора AOB
равна \alpha r^{2}
.
Пусть OP
— высота равнобедренного треугольника AOB
. Тогда
\sin\alpha=\frac{AP}{AO}=\frac{a}{2r}.
Поэтому \alpha=\arcsin\frac{a}{2r}
.
S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}AB\cdot OP=\frac{1}{2}a\sqrt{OA^{2}-PA^{2}}=\frac{1}{2}a\sqrt{r^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{4}a\sqrt{4r^{2}-a^{2}}.
Вычитая из площади сектора AOB
площадь треугольника AOB
, получим площадь сегмента:
r^{2}\arcsin\frac{a}{2r}-\frac{1}{4}a\sqrt{4r^{2}-a^{2}}.