986. Хорда AB
стягивает дугу окружности, равную 120^{\circ}
. Точка C
лежит на этой дуге, а точка D
лежит на хорде AB
. При этом AD=2
, BD=1
, DC=\sqrt{2}
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{3\sqrt{2}}{4}
.
Указание. С помощью теоремы об отрезках пересекающихся хорд найдите OD
(O
— центр окружности). Треугольник ODC
— прямоугольный.
Решение. Пусть O
— центр окружности, R
— её радиус. Тогда
R=\frac{AB}{2\sin\frac{1}{2}\angle AOB}=\sqrt{3}.
Поскольку (R-OD)(R+OD)=AD\cdot DB
, то
OD^{2}=R^{2}-AD\cdot DB=3-1\cdot2=1.
Поэтому OD=1
. Следовательно, треугольник ODC
— прямоугольный (OC^{2}=OD^{2}+CD^{2})
, \angle CDO=90^{\circ}
. Тогда
\angle CDA=\angle CDO-\angle ADO=90^{\circ}-(\angle DBO+\angle DOB)=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.
Пусть CM
— высота треугольника ACB
. Тогда CM=\frac{1}{2}CD=\frac{\sqrt{2}}{2}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CM=\frac{3\sqrt{2}}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на химический факультет МГУ. — 1970, № 4, вариант 3