996. В треугольник вписана окружность радиуса r
. Касательные к этой окружности, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него три маленьких треугольника. Пусть r_{1}
, r_{2}
, r_{3}
— радиусы вписанных в эти треугольники окружностей. Докажите, что r_{1}+r_{2}+r_{3}=r
.
Указание. Докажите, что сумма периметров маленьких треугольников равна периметру данного треугольника.
Решение. Периметр треугольника, отсекаемого прямой, параллельной стороне BC
, равен сумме расстояний от точки A
до точек касания вписанной в треугольник ABC
окружности со сторонами AB
и AC
. Поэтому сумма периметров маленьких треугольников равна периметру треугольника ABC
, т. е. P_{1}+P_{2}+P_{3}=P
. Из подобия треугольников следует, что
\frac{r_{1}}{r}=\frac{P_{1}}{P},~\frac{r_{2}}{r}=\frac{P_{2}}{P},~\frac{r_{3}}{r}=\frac{P_{3}}{P}.
Складывая почленно эти три равенства, получим, что
\frac{r_{1}+r_{2}+r_{3}}{r}=\frac{P_{1}+P_{2}+P_{3}}{P}=1.
Следовательно, r_{1}+r_{2}+r_{3}=r
.
