1000. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Указание. Примените теорему о сумме внутренних углов треугольника.
Решение. Пусть внутренние углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. По теореме о сумме внутренних углов треугольника \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}
, поэтому \beta+\gamma=180^{\circ}-\alpha
.
С другой стороны, внешний угол при вершине A
треугольника ABC
— это угол, смежный с внутренним углом при этой вершине, поэтому он также равен 180^{\circ}-\alpha
. Следовательно, внешний угол при вершине A
равен \beta+\gamma
.
Источник: Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для 7—11 кл. средней школы. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 1989. — с. 55