10002. Каждая из боковых сторон трапеции, основания которой равны a
и b
, служит стороной правильного треугольника. Один треугольник целиком расположен вне трапеции, а другой имеет с ней общие точки. Найдите расстояние между центрами этих треугольников.
Ответ. \sqrt{\frac{1}{3}(a^{2}+ab+b^{2})}
.
Решение. Пусть основания AD
и BC
трапеции ABCD
равны a
и b
соответственно, причём a\gt b
, прямые AB
и CD
пересекаются в точке M
, K
и N
— середины боковых сторон AB
и CD
соответственно, а P
и Q
— центры равносторонних треугольников со сторонами соответственно AB
и CD
, расположенных, как указано в условии. Обозначим MB=x
и MC=y
.
Из подобия треугольников BMC
и AMD
получаем, что MA=\frac{a}{b}\cdot x=\frac{ax}{b}
. Тогда
MK=\frac{MA+MB}{2}=\frac{\frac{ax}{b+x}+x}{2}=\frac{x(a+b)}{2b},~
KP=KB\tg\angle KBP=(MA-MB)\tg30^{\circ}=\left(\frac{ax}{b}-x\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{x(a-b)}{2\sqrt{3}}.
Аналогично находим, что
QM=\frac{y(a+b)}{2b},~QN=\frac{y(a-b)}{2\sqrt{3}}.
По теореме Пифагора
MP=\sqrt{KM^{2}+KP^{2}}=\frac{x\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}}{b\sqrt{3}},
MQ=\sqrt{MQ^{2}+NQ^{2}}=\frac{y\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}}{b\sqrt{3}}.
Прямоугольные треугольники MKP
и MNQ
подобны, так как
\frac{MK}{MN}=\frac{\frac{x(a+b)}{2b}}{\frac{y(a+b)}{2b}}=\frac{x}{y}=\frac{\frac{x\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}}{b\sqrt{3}}}{\frac{y\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}}{b\sqrt{3}}}=\frac{MP}{MQ}.
Тогда, \angle KMP=\angle NMQ
, поэтому
\angle PMQ=\angle PMN+\angle NMQ=\angle PMN+\angle KMP=\angle BMC.
Значит, треугольник PMQ
подобен треугольнику BMC
по двум сторонам и углу между ними, причём коэффициент подобия равен
\frac{MP}{MB}=\frac{\frac{x\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}}{b\sqrt{3}}}{x}=\frac{\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}}{b\sqrt{3}}.
Следовательно,
PQ=BC\cdot\frac{\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}}{b\sqrt{3}}=b\cdot\frac{\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}}{b\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}}{\sqrt{3}}.