10006. В треугольнике ABC
угол BAC
равен 60^{\circ}
. Внутри треугольника взята точка P
так, что углы APB
, BPC
и CPA
равны 120^{\circ}
. Известно, что AP=a
. Найдите площадь треугольника BPC
.
Ответ. \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Обозначим \angle BAP=\alpha
. Тогда
\angle CAP=60^{\circ}-\alpha,~\angle ABP=180^{\circ}-120^{\circ}-\alpha=60^{\circ}-\alpha.
Значит, треугольники APC
и BPA
подобны по двум углам, поэтому
\frac{AP}{BP}=\frac{CP}{AP},~\mbox{или}~\frac{a}{BP}=\frac{CP}{a},
откуда BP\cdot CP=a^{2}
. Следовательно,
S_{\triangle BPC}=\frac{1}{2}BP\cdot CP\sin120^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot a^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.