10008. В окружности радиуса R
проведена хорда AB=a
. Окружность с центром на прямой AB
проходит через точку A
и вторично пересекает данную окружность в точке C
. Пусть M
— произвольная точка второй окружности. Прямые MA
и MC
вторично пересекают первую окружность в точках P
и Q
. Найдите PQ
.
Ответ. \sqrt{4R^{2}-a^{2}}
.
Решение. Пусть AD
— диаметр второй окружности, а прямая CD
пересекает первую окружность в точке F
. Углы MAD
и MCD
либо равны, либо дополняют друг друга до 180^{\circ}
(точки A
и C
расположены либо по одну сторону от прямой MD
, либо по разные). То же можно сказать и о вписанных в первую окружность углах FCQ
и BAP
, значит, FQ=PB
и PQ=BF
.
Точка C
лежит на окружности с диаметром AD
, поэтому \angle ACD=90^{\circ}
. Тогда \angle ACF=90^{\circ}
, AF
диаметр первой окружности, и \angle ABF=90^{\circ}
. Следовательно,
PQ=BF=\sqrt{AF^{2}-AB^{2}}=\sqrt{4R^{2}-a^{2}}.
Источник: Соросовская олимпиада. — 1996-1997, III, 3-й тур, 9 класс