10009. Пусть M
— точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
. Рассмотрим три окружности, проходящие через M
: первая и вторая касаются прямой AB
в точках A
и B
соответственно, а третья проходит через точки C
и D
. Обозначим через P
и Q
соответственно точки пересечения первой окружности с третьей и второй с третьей, отличные от M
. Докажите, что прямая PQ
касается первой и второй окружностей.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть первая окружность вторично пересекает прямую AD
в точке P_{1}
, а вторая пересекает прямую BC
в точке Q_{1}
. Докажем, что точка P_{1}
совпадает с P
, а Q_{1}
— с Q
.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle AP_{1}M=\angle BAP_{1}=\angle MCD,
поэтому
\angle MP_{1}D+\angle MCD=180^{\circ}-\angle AP_{1}M+\angle MCD=180^{\circ}.
Значит, четырёхугольник P_{1}MCD
вписанный. Тогда точка P_{1}
лежит на окружности, описанной около треугольника MCD
, т. е. совпадает с точкой P
. Аналогично, точка Q_{1}
совпадает с Q
. Что и требовалось доказать.
Докажем теперь, что прямая PQ
касается первой и второй окружностей. Четырёхугольник CDPQ
вписанный, поэтому
\angle APQ=\angle DCQ=\angle BAP.
При симметрии относительно серединного перпендикуляра к отрезку AP
первая окружность переходит в себя, а касательная AB
к этой окружности переходит также в касательную, проходящую через точку P
и образующую с прямой AP
такой же угол, что и прямая AB
, т. е. в прямую PQ
. Так же докажем, что прямая PQ
касается второй окружности.
Аналогично для остальных случаев.