10013. На плоскости нарисована окружность, центр которой не указан. На этой окружности отмечена точка A
и построена окружность с центром в A
. Вторая окружность имеет радиус больший, чем радиус первой, и пересекает первую в двух точках. Постройте центр первой окружности при помощи только циркуля, проведя ещё не более пяти окружностей.
Решение. Пусть B
и C
— точки пересечения окружности с центром A
с исходной окружностью. С центрами в этих точках проведём окружности радиусом BA=CA
. Точка D
их пересечения симметрична точке A
относительно прямой BC
.
С центром в точке D
строим окружность радиусом DA
. Пусть она пересекает окружность с центром A
в точках E
и F
. Наконец, строим окружности с центрами E
и F
и радиусами EA=FA
. Точка O
их пересечения, отличная от A
, есть искомый центр исходной окружности.
Таким образом мы провели ещё пять окружностей. Докажем, теперь, что O
— искомая точка.
Точки A
, D
и O
равноудалены от концов отрезка BC
, значит, они лежат на одной прямой — на серединном перпендикуляре к отрезку BC
. Осталось доказать, что отрезок OA
равен радиусу исходной окружности.
Пусть радиус исходной окружности равен R
, AB=AC=a
, а h
— высота равнобедренного треугольника ABC
, опущенная на основание BC
. По теореме синусов
R=\frac{AC}{2\sin\angle ABC}=\frac{a}{2\cdot\frac{h}{a}}=\frac{a^{2}}{2h}.
С другой стороны, из подобия равнобедренных треугольников ADE
и AEO
получаем, что \frac{AO}{AE}=\frac{AE}{AD}
, или \frac{AO}{a}=\frac{a}{2h}
, откуда AO=\frac{a^{2}}{2h}=R
. Следовательно, O
— центр исходной окружности.
Источник: Соросовская олимпиада. — 1996-1997, III, 2-й тур, 10 класс