10015. В некоторой окружности проведена хорда AB
. Меньшей из двух дуг AB
соответствует центральный угол в 120^{\circ}
. К этой дуге проведена касательная p
. Построены две окружности с радиусами R
и r
, касающиеся этой меньшей дуги AB
и прямых AB
и p
. Найдите радиус исходной окружности.
Ответ. \frac{3}{4}(R+r)+\frac{5}{2}\sqrt{Rr}
; \frac{3}{4}R+\frac{5}{2}r+\frac{3r^{2}}{4R}
; \frac{3}{4}r+\frac{5}{2}R+\frac{3R^{2}}{4r}
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рис. 1 (окружности радиусов R
и r
касаются данной внешним образом). Пусть окружность с центром O_{1}
и радиусом R
касается прямой AB
в точке P
, прямой p
— в точке K
, а данной окружности с центром O
и радиусом x
— в точке E
; окружность с центром O_{2}
и радиусом r
касается прямой AB
в точке L
, прямой p
— в точке N
, а данной окружности — в точке E
; данная окружность касается прямой p
в точке M
. Тогда (см. задачу 365)
MK=2\sqrt{Rx},~MN=2\sqrt{rx},~KN=MK+MN=2(\sqrt{Rx}+\sqrt{rx}).
Пусть Q
— проекция точки O
на хорду AB
, F
— проекция точки O_{1}
на прямую AB
. Тогда Q
— середина AB
, поэтому
OQ=\frac{1}{2}OA=\frac{x}{2},~
PQ=\sqrt{OO_{1}^{2}-O_{1}F^{2}}=\sqrt{(x+R)^{2}+\left(\frac{x}{2}+R\right)^{2}}=\sqrt{Rx+\frac{3}{4}x^{2}},
Аналогично QL=\sqrt{rx+\frac{3}{4}x^{2}}
, а так как PL=KN
, то
\sqrt{Rx+\frac{3}{4}x^{2}}+\sqrt{rx+\frac{3}{4}x^{2}}=2(\sqrt{Rx}+\sqrt{rx}),
\sqrt{R+\frac{3}{4}x}+\sqrt{r+\frac{3}{4}x}=2(\sqrt{R}+\sqrt{r}),
откуда находим, что
x=\frac{3}{4}(R+r)+\frac{5}{2}\sqrt{Rr}.
Если окружность с центром O_{2}
расположена внутри сегмента и касается внутренним образом данной окружности в той же точке, что и прямая p
(рис. 2), то получим уравнение
\sqrt{\frac{3}{4}x-3r}+\sqrt{R+\frac{3}{4}x}=2\sqrt{R},
откуда
x=\frac{3}{4}R+\frac{5}{2}r+\frac{3r^{2}}{4R}.
Если внутренним образом окружности с центром O
касается окружность с центром O_{1}
и радиусом R
, то
x=\frac{3}{4}r+\frac{5}{2}R+\frac{3R^{2}}{4r}.