10017. На стороне AB
треугольника ABC
взяты точки M
и K
(M
на отрезке AK
). Известно, что AM:MK:KB=a:b:c
. Прямые CM
и CK
вторично пересекают описанную около треугольника ABC
окружность в точках E
и F
соответственно. В каком отношении окружность, описанная около треугольника BMF
, делит отрезок BE
?
Ответ. \frac{ab}{b^{2}+bc+ac}
.
Решение. Пусть окружность, описанная около треугольника BMF
, пересекает отрезки BE
и CF
в точках P
и L
соответственно, а отрезки LP
и BM
пересекаются в точке N
. Тогда
\angle LMB=\angle LPB=\angle LFB=\angle CFB=\angle CAB=\angle CEB,
поэтому LM\parallel CA
и LP\parallel CE
. Значит, по теореме о пропорциональных отрезках
\frac{NK}{MN}=\frac{LK}{CL}=\frac{MK}{AM}=\frac{a}{b}.
Следовательно, KN=\frac{b}{a+b}MK
.
Далее получаем
\frac{EP}{PB}=\frac{MN}{NB}=\frac{MK-KN}{BK+KN}=
=\frac{1-\frac{KN}{MK}}{\frac{BK}{MK}+\frac{KN}{MK}}=\frac{1-\frac{b}{a+b}}{\frac{c}{b}+\frac{b}{a+b}}=\frac{ab}{b^{2}+bc+ac}.