10018. Пусть A
— фиксированная точка окружности, B
и C
— произвольные точки окружности, удалённые от A
на разные расстояния. Биссектриса угла BAC
пересекает хорду BC
и окружность в точках K
и P
, D
— проекция точки A
на прямую BC
. Окружность, проходящая через точки K
, P
и D
вторично пересекает прямую AD
в точке M
. Найдите геометрическое место точек M
.
Ответ. Окружность с центром A
и радиусом, равным диаметру данной (без двух точек).
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (AB\gt AC
). Проведём диаметр AN
данной окружности. Тогда
\angle BAN=90^{\circ}-\angle ANB=90^{\circ}-\angle ACB=\angle CAM,
\angle PAN=\angle CAD=\angle PAB-\angle BAN=\angle PAC-\angle CAM=\angle PAM.
Значит, AP
— биссектриса угла MAN
.
Четырёхугольник DKPM
вписанный, поэтому
\angle APM=\angle KPM=180^{\circ}-\angle KDM=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ},
а так как \angle APN=90^{\circ}
, то точка P
лежит на отрезке MN
, а AP
— высота и биссектриса треугольника MAN
. Значит, этот треугольник равнобедренный, AM=AN
. Аналогично для случая, когда AB\lt AC
.
Следовательно, точка M
лежит на окружности \omega
с центром A
и радиусом, равным диаметру исходной окружности.
Верно и обратное: для каждой точки окружности \omega
, за исключением точки N
и точки, ей диаметрально противоположной, найдётся на исходной окружности пара точек B
и C
(AB\ne AC
), для которой выполняется условие задачи.
Источник: Соросовская олимпиада. — 1996-1997, III, 3-й тур, 10 класс