1002. Через середину отрезка AB
проведена прямая, перпендикулярная прямой AB
. Докажите, что каждая точка этой прямой одинаково удалена от точек A
и B
.
Указание. Примените один из признаков равенства треугольников.
Решение. Пусть O
— середина отрезка AB
, M
— произвольная точка прямой, проходящей через точку O
перпендикулярно прямой AB
.
Если точка M
совпадает с O
, то всё доказано. Если точка M
отлична от O
, то треугольники MOA
и MOB
равны по двум сторонам (OM
— общая, AO=OB
по условию) и углу между ними (\angle MOA=\angle MOB=90^{\circ}
) Следовательно, AM=BM
.
Источник: Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для 7—11 кл. средней школы. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 1989. — № 2, с. 36