10023. Через точку пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника проведена хорда. Известно, что части этой хорды, расположенные вне четырёхугольника, составляют \frac{1}{3}
и \frac{1}{4}
длины хорды. В каком отношении эта хорда делится точкой пересечения диагоналей четырёхугольника?
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
.
Решение. Пусть ABCD
— вписанный четырёхугольник, диагонали которого пересекаются в точке Q
. Докажем, что \frac{AQ}{QC}=\frac{AB\cdot AD}{CB\cdot CD}
.
Действительно, отношение отрезков AQ
и QC
равно отношению высот треугольников ABD
и CBD
, опущенных на общую сторону BD
, т. е. отношению площадей этих треугольников. С другой стороны,
\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle CBD}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin\angle BAD}{\frac{1}{2}CB\cdot CD\sin(180^{\circ}-\angle BAD)}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin\angle BAD}{\frac{1}{2}CB\cdot CD\sin\angle BAD}=\frac{AB\cdot AD}{CB\cdot CD}.
Следовательно, \frac{AQ}{QC}=\frac{AB\cdot AD}{CB\cdot CD}
.
Пусть теперь MN
— хорда, проходящая через точку Q
и пересекающая хорды AD
и BC
в точках P
и L
соответственно, причём MP=\frac{1}{3}MN
и LN=\frac{1}{4}MN
. Тогда по доказанному
\frac{MP}{PN}=\frac{MA\cdot MD}{NA\cdot ND}=\frac{1}{2},\eqno(1)
\frac{ML}{LN}=\frac{MB\cdot MC}{NB\cdot NC}=3,\eqno(2)
\frac{MQ}{QN}=\frac{MB\cdot MD}{NB\cdot ND},\eqno(3)
\frac{MQ}{QN}=\frac{MA\cdot MC}{NA\cdot NC}.\eqno(4)
Перемножая равенства (3) и (4) и учитывая равенства (1) и (2), получим, что \left(\frac{MQ}{QN}\right)^{2}=\frac{3}{2}
. Следовательно, \frac{MQ}{QN}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
.